浮点数在计算机中是如何存储的？

发表于 2024-05-10 更新于 2024-05-31 分类于架构阅读次数：本文字数： 9.2k 阅读时长 ≈ 8 分钟

hi，你好，我是猿java。

在现实生活中，我们对整数和小数的应用随处可见，比如算账、计数、时间、温度、体重等，并且，随着网络的迅速发展，这些场景似乎已经从线下迁移到网上。那么，这些数字是在计算机中是如何存储的呢？今天我们就来一探究竟。

在计算机中，通常用定点数和浮点数两种方式来存储实数。

定点数

定义

定点数，比较简单，从字面上理解为小数点固定的数。比如，100，3.14，200.08等等都可以看成是定点数。

通常意义上，定点数表示整数或小数，可以分为以下三种情况：

纯整数：例如，400，小数点在最后一位，可以忽略
纯小数：例如，0.68，小数点固定在最高位
整数+小数：例如，3.14、9.18，小数点在指定某个位置

接下来，我们一起看看定点数的十进制和二进制的相互转换。

十进制整数转二进制

将十进制数转换为二进制数，通过不断地除以 2，直到商为 0。步骤：

将十进制数除以2，记录商和余数
将商再次除以2，记录新的商和余数
重复这个过程，直到商为 0为止
从下往上读取所有的余数，就得到了转换后的二进制数

比如：将十进制的 38转换成二进制

38 / 2 = 19 余 0
19 / 2 = 9  余 1
9  / 2 = 4  余 1
4  / 2 = 2  余 0
2  / 2 = 1  余 0
1  / 2 = 0  余 1

所以，(38)₁₀ 的二进制是 (100110)₂

二进制整数转十进制

将二进制数转换为十进制数，根据权值展开法，将每一位上的数字与其对应的权值相乘，然后将所有结果相加。权值是 2的幂，从右向左依次增加。

例如，将二进制数 100110转换成十进制：

1
2
3

1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰
= 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0
= 38

所以，(100110)₂ 的十进制是 (38)₁₀

十进制小数转二进制

十进制小数转二进制分两部分：整数部分转换上面已经讲解了，小数部分采用“乘2取整，从上到下顺序排列”。

例如，十进制小数 10.75 转为二进制小数：

# 整数部分
10 / 2 = 5 余 0
5  / 2 = 2 余 1
2  / 2 = 1 余 0
1  / 2 = 0 余 1

# 小数部分
0.75 * 2 = 1.5 取整数部分 1
0.5  * 2 = 1.0 取整数部分 1

所以，(10.75)₁₀ 的二进制是 (1010.11)₂

二进制小数转十进制

十进制小数转二进制分两部分，整数部分转为二进制上面已经讲解了，小数部分采用“乘2取整，从上到下顺序排列”。

例如，二进制小数转十进制小数：

# 整数部分
1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰
= 8 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 10

# 小数部分
1*2⁻¹ + 1*2⁻²
= 0.5 + 0.25
= 0.75

# 整数部分 + 小数部分
10 + 0.75 = 10.75

所以，(1010.11)₂ 的十进制是 (10.75)₁₀

定点数的优缺点

优点

定点数的精度是固定的，可以根据需求进行灵活调整，这使得它们在需要固定精度的应用中非常有用。

缺点

定点数的精度是固定的，这意味着在处理大范围或者需要高精度的数据时，可能会丢失精度或者溢出。

比如，以 1个字节（8 bit）为例，假如约定前 4位表示整数部分，后 4位表示小数部分，因此，可以表达的最大数是：(1111.1111)₂=(15.9375)₁₀。

如果想要表示更大范围的值，怎么办？

增加 bit：比如，使用 2个字节（16 bit）、4个字节（32bit），这样整数部分和小数部分都增加了，表示的数字范围也变大了。
小数点右移：小数点右移，整数范围就变大了，因此整个数字范围就变大了，但是小数部分的精度就会越来越低。

因此，对于表示大范围或者高精度的数，定点数存在其局限性，这时候“浮点数”就派上用场了。

IEEE 754

在讲解浮点数之前，我们需要先了解一个很重要的标准：IEEE 754，它是 20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多 CPU、浮点运算器和编程语言（比如 Java）所采用。

这个标准定义了以下规范：

表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（Denormal number）；
一些特殊数值（无穷 Inf与非数值 NaN），以及这些数值的浮点数运算；
指明了四种数值修约规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）；

另外，在 IEEE 754标准推出之前，各个计算机公司对于浮点数的表示没有一个业界通用的标准，这给数据交换、计算机协同工作造成了极大不便，直到 1985年，IEEE 组织推出了 IEEE 754浮点数标准，才结束了这混乱的局面。

什么是浮点数

浮点数，是相对定点数而言的，从字面上可以解释为：小数点在浮动的数。在计算机科学中，浮点数是一种用于表示带有小数点的实数的数据类型，通常采用了科学计数法表示。

如下例子，十进制小数 300.14，用科学计数法表示，可以有多种方式，整体看上去，小数点好像在浮动。

1
2
3

300.14 = 30.014 × 10¹
300.14 = 3.0014 × 10²
300.14 = 0.31004 × 10³

在 IEEE 754标准中，浮点数在内存中以二进制形式存储，分为四个部分：符号位、基数、指数部分和尾数部分。

符号位（Sign bit）：用于表示数值的正负。0表示正数，1表示负数。
指数部分（Exponent）：用于表示数值的大小范围。该部分存储的是一个无符号整数，通常采用偏移表示，即用实际指数加上一个固定偏移值。
基数（Base）：也称为进制或底数，常见的基数包括十进制（基数为10）、二进制（基数为2）、八进制（基数为8）、十六进制（基数为16）等。
尾数部分（Mantissa/Significand）：用于表示数值的精度和小数部分。在IEEE 754中，尾数总是处于[1,2)之间的一个小数，这样可以省略掉小数点前面的 1，从而节省了一个 bit。注意：significand 和 mantissa 都是用来指代浮点数中的尾数部分，只不过 mantissa是早期计算机的叫法。两个术语可以互换，用来表示浮点数中的尾数部分。

下图以 300.14为例展示了一个浮点数的构成：

精度和范围

在IEEE 754标准中规定了 4种主要的浮点数类型：单精度浮点数（float）、双精度浮点数（double）、延伸单精确度以及延伸双精确度。

单精度浮点数（float）

单精度浮点数占用 32位（4个字节），其中，符号占 1位，指数部分占 8位，尾数部分占 23位。指数部分可以表示的范围是 0～255，因为存在偏移量，因此指数的实际范围是从-126～+127，即 2⁻¹²⁶～2¹²⁷，转换成十进制，范围大约为 ±3.4x10⁻³⁸ 到 ±3.4x10³⁸之间。

双精度浮点数（double）

双精度浮点数占用 64位（8个字节），其中，符号占 1位，指数部分占 11位，尾数部分占 52位。指数部分可以表示的范围是 0～2047，因为存在偏移量，因此指数的实际范围是从-1022～+1023，即 2⁻¹⁰²²～ 2¹⁰²³，转换成十进制，范围大约为 ±1.7x10⁻³⁰⁸ 到 ±1.7x10³⁰⁸之间。

延伸单精确度

因为不常用，所以本文不进行讲解。

延伸双精确度

因为不常用，所以本文不进行讲解。

关于单精度浮点数和双精度浮点数的二进制表示如下图：

在了解完定点数和浮点数的一些基本概念之后，接下来讲解浮点数使用IEEE 754标准在内存是如何使用二进制存储的，
这里是IEEE 754标准的精华部分，也是比较难理解的部分，我会通过实际的例子结合图形进行分析。

IEEE 754转换

十进制转IEEE 754单精度浮点数二进制（没有精度丢失）

这里以十进制转单精度浮点数并且没有精度丢失为例，核心流程包含 5个步骤：

1. 确认 Sign符号位

比如，19.59375的符号为 0（正数），-1.1的符号为 1（负数），将结果值（0/1）填充到二进制的 Sign bit区域。

2. 将十进制转成纯二进制

这个步骤，只是存粹的将十进制转换成二进制。

对于整数部分，通过不断地除以 2，直到商为 0；
对于小数部分，采用逐步乘 2取整，直到小数部分为 0或达到尾数所需的精度；

需要注意，对于小数部分处理结束的条件有 2个：小数部分为0 或达到尾数所需的精度。只要满足一个就OK，这里也是为什么小数会丢精度的关键所在，在下面的例子会进行讲解。

对于没有精度丢失的转换，结束的条件是：小数部分为 0。

比如，0.25转成二进制

1 2	0.25 x 2 = 0.5 0 0.5 x 2 = 1.0 1 小数部分为0，结束

3. 标准化以确定尾数和无偏移指数

根据 IEEE 754标准，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，变成 1.00101x2²，无偏移指数是 2；0.0011需要右移 3位，变成 1.1x2⁻³，无偏移指数是 -3。

这个步骤其实就是 IEEE 754标准的一个硬性规定，解决了上面提到的浮点数漂浮不定的问题。

4. 确认偏移指数

偏移指数，即用无偏移指数（步骤3 产生的结果）加上固定的偏移值127(2⁸-1=127)，再转换成二进制。

假如，无偏移指数是 4，那么，偏移指数就等于4+127=131，转换成二进制就是10000011，然后，将二进制结果值10000011填充到 Exponent指数区域。

5. 移除尾数的前导 1

在步骤3中，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，因此，每个小数点前面的值都是固定的 1（也叫做前导 1），在 IEEE 754标准中，会将这个前导 1移除，从而节省了 1个bit，再将结果值填充到二进制的 Significand尾数区域，不足部分填 0。

比如，1.001110011 移除小数点前固定的 1 变成了001110011，然后将结果值001110011填充到 Significand尾数区域。

为了更好的解释上面 5个步骤，这里以十进制19.59375转换成IEEE 754二进制为例进行讲解，整个过程如下图：

十进制转IEEE 754单精度浮点数二进制（有精度丢失）

这里以十进制转单精度浮点数并且有精度丢失为例，核心流程包含 6个步骤：

1. 确认 Sign符号位

比如，19.59375的符号为 0（正数），-1.1的符号为 1（负数），将结果值（0/1）填充到二进制的 Sign bit区域。

2. 将十进制转成纯二进制

这个步骤，只是存粹的将十进制转换成二进制。

对于整数部分，通过不断地除以 2，直到商为 0；
对于小数部分，采用逐步乘 2取整，直到小数部分为 0或达到所需的精度；

需要注意，对于小数部分处理结束的条件有 2个：小数部分为0 或达到尾数所需的精度。

对于有精度丢失的转换，结束的条件是：达到所需的精度。

比如，0.3转成二进制

0.3 x 2 = 0.6  0
0.6 x 2 = 1.2  1
0.2 x 2 = 0.4  0
0.4 x 2 = 0.8  0
0.8 x 2 = 1.6  1
0.6 x 2 = 1.2  1 开始进入循环，只能达到所需的精度后按需舍入结束
0.2 x 2 = 0.4  0

3. 标准化以确定尾数和无偏移指数

这个步骤其实就是 IEEE 754标准的一个硬性规定，解决了上面提到的浮点数漂浮不定的问题。

4. 确认偏移指数

偏移指数，即用无偏移指数（步骤3 产生的结果）加上固定的偏移值127(2⁸-1=127)，再转换成二进制。

假如，无偏移指数是 4，那么，偏移指数就等于4+127=131，转换成二进制就是10000011，然后，将二进制结果值10000011填充到 Exponent指数区域。

5. 移除尾数的前导 1

在步骤3中，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，因此，每个小数点前面的值都是固定的 1（也叫做前导 1），在 IEEE 754标准中，会将这个前导 1移除，从而节省了 1bit，再将结果值填充到二进制的 Significand尾数区域，不足部分填0。

比如，1.001110011 移除小数点前固定的 1 变成了001110011，然后将结果值001110011填充到 Significand尾数区域。

6.按需向上或者向下舍入

在步骤2中，小数部分转换成二进制的时候不是因为乘 2使得小数部分为 0结束，而是因为产生了循环，导致达到了尾数所需的精度（单精度 23bit，双精度 52bit），对于超出的精度范围，需要如何处理？

答案：按需向上或者向下舍入

为了更好的解释上面 6个步骤，这里以十进制-123.3转换成 IEEE 754二进制为例进行讲解，整体流程如下图：

注意：截图中步骤6黄色字体1001，是指超出尾数 23bit范围的二进制数，需要被舍入

通过上面两个例子的分析，相信大家还是会有困惑：为什么是二进制中存储的是偏移指数而不是指针？
为什么偏移指数是通过指数加上一个固定的偏移值？
这个固定的偏移值是怎么计算的？为什么尾数需要把前导 1移除？
IEEE 754 的舍入规则是什么？下面我们就一一解答。

IEEE 754单精度浮点数二进制转十进制

为了帮助大家更好地理解 IEEE 754的转换，这里还提供了 2个 IEEE 754单精度浮点数二进制转十进制的逆向例子，如下图：

偏移指数

偏移指数，也叫指数偏移值（exponent bias），即浮点数表示法中指数域的编码值，等于指数的实际值加上某个固定的偏移值，IEEE 754标准规定该固定值偏移为2 ͤ⁻¹-1，其中 e为存储指数的 bit长度，因此，单精度浮点数的固定偏移值是2⁸⁻¹-1=127，双精度浮点数的固定偏移值是2¹¹⁻¹-1=1023。

为什么需要偏移指数？

从 1.00101 x 2² 和 1.1 x 2⁻³ 可以看出来，指数有正负数的区分，即有符号的区分，因此，IEEE 754标准中的偏移指数主要解决两个问题：

表示负指数：在使用二进制表示浮点数的指数时，如果采用纯粹的二进制表示，那么需要额外的符号位来表示指数的正负。采用偏移指数的方式，可以将指数全部看作非负数，因为将偏移量添加到指数部分后，所有的指数都是正数，0则表示了最小的指数。
排序浮点数：使用偏移指数的方式可以更容易地对浮点数进行排序。因此第 1点已经把指数全部转换成了无符号，所以，浮点数的比较直接变成了对二进制的自然排序比较，不需要单独处理符号位和指数部分的符号。

固定值偏移值如何计算？

单精度浮点数

对于单精度浮点数，它的指数域是 8个bit，表示的有符号范围是-127～128(-2⁷-1 ~ 2⁷)，如何让这个范围 >=0 ？

答案：加上 127。所以，IEEE 754标准把 127设定为单精度浮点数的固定偏移值。

双精度浮点数

同理，对于双精度浮点数，它的指数域是 11个bit，表示的有符号范围是-1023～1024(-2¹⁰-1 ~ 2¹⁰)，如何让这个范围 >=0 ？

答案：加上 1023。所以，IEEE 754标准把 1023设定为双精度浮点数的固定偏移值。

具体信息如下图：

为什么要移除尾数的前导 1？

在讲解浮点数构成时提过，浮点数的小数点是浮动的，因此，IEEE 754标准定义了一套固定的格式：在二进制数中，通过移位，将小数点前面的值固定为 1，IEEE754 称这种形式的浮点数为规范化浮点数。

因此，对于规范化浮点数，既然尾数的前导永远是 1，那干脆不存储，尾数其实比实际的多 1位，也就是说单精度的是 24位，双精度是 52位。

IEEE 754 的舍入规则

关于舍入，IEEE 754标准提供了 4种方法：

1. 舍入到最接近

这是 IEEE 754标准的默认方式，将结果舍入为最接近且可以表示的值，但是当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中是以0结尾的）。

取偶数最关键的步骤是找到一个中间值，先确定要保留的有效数字，找到要保留的有效数字最低位的下一位。如果这位是进制的一半，而且之后的位数都为 0，则这个值就是中间值。

这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 2位：

10.00011，中间值为 10.00100，小于中间值，向下舍入为 10.00
10.00110，中间值为 10.00100，大于中间值，向上舍入为 10.01
10.11100，中间值为 10.11100，等于中间值，要保留的最低有效位 1 为奇数，向上舍入为 11.00
10.10100，中间值为 10.10100，等于中间值，要保留的最低有效位 0 为偶数，向下舍入为 10.10

因此，上述十进制-123.3转换成 IEEE 754二进制例子的舍入方式，采用向上舍入，即最后一位 +1。

2. 朝 +∞方向舍入

3个要点：

正数多余位不全为 0，进位1
正数多余位全为 0，直接截尾
负数直接截尾

这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位：

0.0011001，正数，从小数点后 4位起，不全为0，则向上进位（最后一位 +1），结果值为 1.010，
0.0010000，正数，从小数点后 4位起，全为0，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 0.001
-0.0011010，负数直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 -0.001

3. 朝 -∞方向舍入

3个要点：

正数直接截尾
负数多余位全为0，直接截尾
负数多余位不全为 0，进位1

这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位：

0.0011001，正数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 0.001
-0.001000，负数，从小数点后 4位起全为 0，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值 -0.001
-0.001101，负数，从小数点后 4位起不全为 0，则向上进位（最后一位 +1），结果值-0.010

4. 朝 0方向舍入

2个要点：

正数直接截尾
负数直接截尾

数学上有 4舍5入，计算机中 0舍1入，因此，朝 0方向舍入就是直接舍弃。

这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位：

0.001100，正数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃）弃，结果值 0.001
-0.001100，负数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃）弃，结果值 -0.001

非规范化浮点数

上文提到了规范化浮点数，既然有规范化浮点数，是不是也存在非规范化浮点数？非规范化浮点数又是什么呢？

在 IEEE 754标准中，将“指数部分全是0，尾数部分非0”这样的浮点数称为非规范化浮点数，一般用于表示 0或者无限接近 0的很小的数字。

另外，IEEE 754标准还规定：非规范化浮点数的指数偏移值比规范化浮点数的指数偏移值小 1。

例如，最小的规范化单精度浮点数的指数部分编码值为1，指数的实际值为-126；而非规范化的单精度浮点数的指数域编码值为0，对应的指数实际值也是 -126 而不是-127。实际上非规范化浮点数仍然是有效可以使用的，只是它们的绝对值已经小于所有的规约浮点数的绝对值；即所有的非规范化浮点数比规约浮点数更接近0。规约浮点数的尾数大于等于1且小于2，而非规范化浮点数的尾数小于1且大于0。

下图展示了非规范化单精度浮点数的二进制表示：

特殊值

另外，IEEE 754中还定义4个特殊值，如下表：

正负无穷大：指数全是 1，尾数全是 0，代表这个数是正负无穷大（±∞），正负取决于 S符号位。
NaN：指数全是 1，尾数非 0，代表这不是一个数字（NaN，Not a Number）。
0：指数全是 0，尾数全是0，代表这个数是±0，正负取决于 S符号位。
很小的值：指数全是 0，尾数不全是0，代表这个数是一个很小的非规范化浮点数。

浮点数的比较

有了 IEEE 754标准，浮点数的比较就很简单，基本上可以按照符号位、指数域、尾数域的顺序作字典比较。显然，所有正数大于负数；正负号相同时，指数的二进制表示法更大的其浮点数值更大。

浮点数的运算与函数

浮点数的运算和函数包含以下几种:

加减乘除（Add、subtract、multiply、divide）。在加减运算中负零与零相等：−0.0=0.0
平方根（Square root）：
浮点余数。返回值 x-(round(x/y)*y)。
近似到最近的整数 𝑟 𝑜 𝑢 𝑛 𝑑(𝑥)。如果恰好在两个相邻整数之间，则近似到偶数。
比较运算. -Inf <负的规范化浮点数数<负的非规范化浮点数< -0.0 = 0.0 <正的非规范化浮点数<正的规范化浮点数< Inf；
特殊比较： -Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN与任何浮点数（包括自身）的比较结果都为假，即 (NaN ≠ x) = false.

为什么 1.0 - 0.9 != 0.1?

先看 Java中的一个例子：

通过运行结果可以发现：在 Java中，不管是单精度 float，还是双精度 double，1.0 - 0.9 != 0.1，为什么？

从上面的讲解，我们已经知道浮点数 IEEE 754标准在内存中的存储方式，这里我们再简单的分析1.0 - 0.9场景：

1.0 可以精确转换成IEEE 754标准二进制为：0 01111111 00000000000000000000000

0.9 转换成IEEE 754标准二进制为：

符号位：0
偏移指数： -1 + 127 = (126)₁₀ = (0111 1110)₂
尾数：
0.9 x 2 = 1.8  1
0.8 x 2 = 1.6  1
0.6 x 2 = 1.2  1
0.2 x 2 = 0.4  0
0.4 x 2 = 0.8  0
0.8 x 2 = 1.6  1 开始进入循环，只能达到所需的精度后按需舍入结束
0.6 x 2 = 1.2  1

在0.9 转换成 IEEE 754标准的二进制时，出现了循环，这样的话，不管是单精度还是双精度，0.9转换成二进制之后都有精度损失，所以，对于 float 或者 double浮点数 0.9，转换后其真实值已经不是 0.9，因此，1.0 - 0.9 != 0.1。

当然，除了这个例子，还有很多经典的例子，比如 0.1 + 0.2 为什么等于 0.30000000000000004?

那么，如何保证1.0 - 0.9 == 0.1呢？我会在另外一篇文章进行详细的讲解，敬请期待！